Question

已知函數(shù)f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1處取得極值，且a＞3
（1）求a與b滿足的關系式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=a²x²+3，若存在m1，m2∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，利用函數(shù)在x=1處取得極值，可得a與b滿足的關系式；
（2）確定函數(shù)f（x）的定義域，求導函數(shù)，確定分類標準，從而可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）當a＞3時，確定f（x）在[

1

2

，2]上的最大值，g（x）在[

1

2

，2]上的最小值，要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要|f（x）_max-g（x）_min|＜9，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=x-alnx+

b

x

，
∴f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

，
∵f(x)=x-alnx+

b

x

在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，
∴1-a-b=0，即b=1-a．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由（1）可得f′（x）=1-

a

x

-

b

x2

=

x2-ax-(1-a)

x2

=

(x-1)[x-(a-1)]

x2

，
令f′（x）=0，則x₁=1，x₂=a-1．
∵a＞3，x₂＞x₁，當x∈（0，1）∪（a-1，+∞）時，f^′（x）＞0；
當x∈（1，a-1）時，f^′（x）＜0．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；單調遞減區(qū)間為（1，a-1）．
（3）當a＞3時，f（x）在[

1

2

，1）上為增函數(shù)，在（1，2]為減函數(shù)，
所以f（x）的最大值為f（1）=2-a＜0．
因為函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上是單調遞增函數(shù)，
所以g（x）的最小值為g（

1

2

）=

1

4

a²+3＞0．
所以g（x）＞f（x）在[

1

2

，2]上恒成立．
要使存在m₁，m₂∈[

1

2

，2]，使得|f（m₁）-g（m₂）|＜9成立，只需要g（

1

2

）-f（1）＜9，
即

1

4

a²+3-（2-a）＜9，
所以-8＜a＜4． 
又因為a＞3，所以a的取值范圍是（3，4）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確求導，確定分類標準，利用函數(shù)的最值解決恒成立問題．