Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的度數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)a=2

3

，且△ABC的面積S=

a2+b2-c2

4 3

時(shí)，求邊c的值和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得可得

m

•

n

=（2cosA+1）（cosA-1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值．
（Ⅱ）由△ABC的面積S=

a2+b2-c2

4 3

=

1

2

ab•sinC，以及余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

，求得tanC的值，可得C的值，從而得到B的值．再由正弦定理求得c=2．根據(jù)△ABC的面積S=

1

2

ac•sinB，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

，
可得

m

•

n

=-2sin2

B+C

2

+cos2A+1=cos（B+C）-1+cos2A+1=2cos²A-cosA-1=（2cosA+1）（cosA-1）=0，
∴cosA=-

1

2

 或cosA=1（舍去），∴A=120°．
（Ⅱ）∵a=2

3

，且△ABC的面積S=

a2+b2-c2

4 3

=

1

2

ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴tanC=

3

3

，∴C=30°，∴B=30．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 3

sin120°

=

c

sin30°

，解得c=2．
∴△ABC的面積S=

1

2

ac•sinB=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．