Question

（Ⅰ）已知 f（x）=

2

3x-1

+k 是奇函數(shù)，求常數(shù)k的值．；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0．
①求實數(shù)m的取值．
②如圖，作出函數(shù)f（x）的圖象并寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域關于原點對稱，再利用f （x）為奇函數(shù)，可得(

2

3x-1

+k)+(

2

3-x-1

+k)=0，從而可求常數(shù)k的值；
（Ⅱ）①利用函數(shù)f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0，可得4×|4-m|=0，從而可得m=4
②f（x）=x|x-4|=

(x-2)2-4，x≥4 -(x-2)2+4，x＜4

，可作出函數(shù)的圖象，由圖象可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）
 若 f （x）為奇函數(shù)，則 
(

2

3x-1

+k)+(

2

3-x-1

+k)=0
∴k=-

1

3x-1

-

1

3-x-1

=-

1

3x-1

+

3x

3-x-1

=1
（Ⅱ）①∵函數(shù)f（x）=x|x-m|（x∈R）且f（4）=0．
∴4×|4-m|=0
∴m=4
②f（x）=x|x-4|=

(x-2)2-4，x≥4 -(x-2)2+4，x＜4

圖象如圖，由圖象可得
函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間：（-∞，2），（4，+∞）
函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間：（2，4）

點評：本題重點考查函數(shù)的奇偶性，考查分段函數(shù)的圖象，考查利用圖象確定函數(shù)的單調性，屬于基礎題．