Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，E是PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）欲證PB∥平面AEC，關(guān)鍵是在平面AEC內(nèi)找一直線與PB平行，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，利用中位線平行即可證得；
（2）取AD中點(diǎn)L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，易證∠EKL為二面角E-AC-D的平面角，利用△AKL∽△ADC求出KL，然后在Rt△ELK中求出∠EKL．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO．
∵O為BD中點(diǎn)，E為PD中點(diǎn)，
∴EO∥PB．（3分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．（6分）
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)L，過L作LK⊥AC于K，連接EK、EL，
∵L為AD中點(diǎn)，
∴EL∥PA，
∴EL⊥平面ABCD，
∴LK為EK在平面ABCD內(nèi)的射影．
又LK⊥AC，
∴EK⊥AC，
∴∠EKL為二面角E-AC-D的平面角．（10分）
在Rt△ADC中，LK⊥AC，
∴△AKL∽△ADC．
∴

KL

DC

=

AL

AC

，設(shè)正方形邊長為2，

KL

2

=

1

2 2

，
∴KL=

2

2

．（12分）
在Rt△ELK中，tanEKL=

EL

KL

=

1

2 2

=

2

，
∴二面角E-AC-D的大小為arctan

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．