Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處取得極值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并確定f（1）是函數(shù)的極大值還是極小值；
（2）若對于任意x∈[0，2]的時，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)進行求導，然后根據(jù)f（1）=4，f'（1）=0求出a，b的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷f（1）是極小值．
（2）先將（1）中結果代入，然后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=x³+3x²-9x在[0，2]上的最小值的問題，進而可解．
解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+a²∴f'（x）=3x²+2ax+b
由題意可知：f（1）=1+a+b+a²=4，f'（1）=3+2a+b=0
解得：或
∵|a|＜|b|∴
當a=3，b=-9時，f'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
當x＞1或x＜-3時f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
當-3＜x＜1時f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
∴f（1）是函數(shù)的極小值
（2）由題意可知，x³+3x²-9x＞c²+6c對于任意x∈[0，2]恒成立
令g（x）=x³+3x²-9x，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
∴當x＞1或x＜-3時g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增
當-3＜x＜1時g'（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減
∴x=1時函數(shù)g（x）取到最小值g（1）=-5
∴只要-5＞c²+6c即可
-5＜c＜-1
點評：本題主要考查函數(shù)的極值與其導函數(shù)之間的關系以及函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法．導數(shù)時高考的熱點問題，每年必考要給予充分的重視．