Question

8．在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為$\sqrt{2}$的等邊三角形，AB=2，O是AB中點，E是BC中點．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值的大�。�
（Ⅲ）在棱PB上是否存在一點F，使得B-OF-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$？若存在，指出點F在PB上的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，PO，△ABC中，O為AB中點，推導(dǎo)出OC⊥AB，且OC=1，PO⊥AB，且PO=1，從而PO⊥OC，進而PO⊥平面ABC，由此能證明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OP}$方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PB與平面PAC所成角的正弦值．
（Ⅲ）設(shè)在棱PB上存在點F，設(shè)$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BP}$=λ（-1，0，-1），求出平面EOF的一個法向量和面BOF的一個法向量，利用向量法能求出存在點F且當F在棱PB上靠近點B的三等分點處，滿足題意．

解答 證明：（Ⅰ）連接OC，PO，△ABC中，O為AB中點，
解得OC⊥AB且OC=1．
同理可得：PO⊥AB，且PO=1，
又∵$PC=\sqrt{2}$，∴∠POC=90°，
∴PO⊥OC，又∵AB∩OC=C，∴PO⊥平面ABC，
又∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）以O(shè)為原點，以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OP}$方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
得B（1，0，0），P（0，0，1），A（-1，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
設(shè)平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
設(shè)直線PB與面PAC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線PB與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅲ）設(shè)在棱PB上存在點F，設(shè)$\overrightarrow{BF}$=$λ\overrightarrow{BP}$=λ（-1，0，-1），
由題意得$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BF}$=（1-λ，0，λ），
設(shè)平面EOF的一個法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{OF}=（1-λ）x+λz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow p=（1，1，1-\frac{1}{λ}）$，
∵OC⊥平面BOF，
∴設(shè)面BOF的一個法向量為$\overrightarrow{q}$=（0，1，0）．
設(shè)面BOF與面EOF所成二面角為θ，
∵B-OF-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2+（1-\frac{1}{λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
解得：$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1（舍），∴$λ=\frac{1}{3}$．
所以存在點F且當F在棱PB上靠近點B的三等分點處，滿足題意．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考點滿足條件的點是否存在的判斷與求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．