Question

S=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n+n×（n+1）（1）
S=1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n+n×（n+1）（2）
（1）-（2）（錯位相減）得：0=1×2+2×2+3×2+…+n×2-（n+1）×n
即：1+2+3+…+n=

(n+1)×n

2

．
類比此法可得
S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-1）×n×（n+1）+n（n+1）×（n+2）（1）
S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-1）×n×（n+1）+n（n+1）×（n+2）（2）
（1）-（2）（錯位相減）得：
0=1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+…+n×（n+1）×3-（n+1）×n×（n+2）
即：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n×(n+1)×(n+2)

3

．
類比知：{n×（n+1）×（n+2）}的前n項和為：

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：由已知中1+2+3+…+n=

(n+1)×n

2

和1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n×(n+1)×(n+2)

3

的推導(dǎo)過程，設(shè){n×（n+1）×（n+2）}的前n項和為S，結(jié)合錯位相減法可得答案．

解答： 解：設(shè){n×（n+1）×（n+2）}的前n項和為S，
則S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+（n-1）n（n+1）（n+2）+n（n+1）（n+2）（n+3）（1）
S=1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+…+（n-1）n（n+1）（n+2）+n（n+1）（n+2）（n+3）（2）
（1）-（2）（錯位相減）得：
0=1×2×3×4+2×3×4×4+3×4×5×4+4×5×6×4+…+n（n+1）（n+2）×4-（n+1）n（n+2）（N+3）×4
即：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

．
故答案為：

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．