【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)的直線l與E交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)l過(guò)點(diǎn)F時(shí),直線l的斜率為,當(dāng)l的斜率不存在時(shí),.
(1)求橢圓E的方程.
(2)以AB為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1).(2)以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【解析】
(1)根據(jù)直線的斜率公式求得的值,由,即可求得的值,求得橢圓方程;
(2)當(dāng)直線的斜率存在,設(shè)直線的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及以直徑的圓的方程,令,即可求得,即可判斷以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
(1)設(shè)橢圓半焦距為c,由題意,所以.
l的斜率不存在時(shí),,所以,.
所以橢圓E的方程為.
(2)以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
理由如下:
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程,,,,,
聯(lián)立方程組,消去,
整理得,
所以,,
所以,,
以為直徑的圓的方程:,
即,
令,則,
解得或,
所以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),,,
此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為.
顯然過(guò)點(diǎn).
綜上可知,以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為,,右焦點(diǎn)為,且上的動(dòng)點(diǎn)到的距離的最大值為4,最小值為2.
(1)證明:.
(2)若直線:與相交于,兩點(diǎn)(,均不與,重合),且,試問(wèn)是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出此定點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界已知函數(shù)
當(dāng),求函數(shù)在上的值域,并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng),面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分
沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)。如圖,某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).
(1)如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙,則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為多少秒(精確到1秒)?
(2)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成個(gè)一蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,求此錐形沙堆的高度(精確到0.1cm).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理,樹立企業(yè)形象,考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰.現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查,當(dāng)不處罰時(shí),有80人會(huì)遲到,處罰時(shí),得到如下數(shù)據(jù):
處罰金額(單位:元) | 50 | 100 | 150 | 200 |
遲到的人數(shù) | 50 | 40 | 20 | 0 |
若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.
(Ⅰ)當(dāng)處罰金定為100元時(shí),員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少?
(Ⅱ)將選取的200人中會(huì)遲到的員工分為,兩類:類員工在罰金不超過(guò)100元時(shí)就會(huì)改正行為;類是其他員工.現(xiàn)對(duì)類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷,則前兩位均為類員工的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱中,,,點(diǎn)E在上,且.
(1)求異面直線與所成角的正切值:
(2)求證:平面DBE;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,,長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,,為橢圓中心,,斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),這兩點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn),,滿足,,三點(diǎn)共線,,,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的最小值.
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