Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點x₁=1，x₂=2，且直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點．
（1）求b和c        
（2）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）在d為整數(shù)時，求過P點和y=f（x）相切于一異于P點的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：f′（x）=3x²+2bx+c，所以3x²+2bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=2，進(jìn)而得到a與b的關(guān)系式解決問題．
（2）設(shè)切點為（x，y），根據(jù)題意可得f′（x）=6，即x=3或者x=0，即可解出切點的坐標(biāo)求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（3）由題意可得：設(shè)切點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
所以==…①．所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，所以切點為（，），所以，所以切線方程為15x-16y+16=0．
解答：解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3x²+2bx+c，
因為函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d有兩個極值點x₁=1，x₂=2，
所以3x²+2bx+c=0的兩個根為x₁=1，x₂=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-，c=6．
（2）設(shè)切點為（x，y），
由（1）可得：f′（x）=3x²-9x+6，
因為直線y=6x+1與曲線y=f（x）相切于P點，
所以f′（x）=6，即x=3或者x=0，
當(dāng)x=3時，y=19，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³x²+6x+．
當(dāng)x=0時，y=1，所以函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x³x²+6x+1．
（3）由題意可得：f（x）=x³x²+6x+1，并且P（0，1），
設(shè)切點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
所以==…①．
又因為f′（x）=3x²-9x+6，
所以K_切=3x₁²-9x₁+6…②，
由①②可得：，
所以切點為（，），所以，
所以切線方程為15x-16y+16=0．
所以過P點和y=f（x）相切于一異于P點的直線方程為15x-16y+16=0．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義與求導(dǎo)公式，求切線方程時應(yīng)該首先弄清切線所過的點是否為切點，再根據(jù)題意采用不同的方法進(jìn)行處理．