Question

4．如圖，一個幾何體的三視圖是一個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則這個幾何體的外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征尋找外接球的球心位置，代入數(shù)據(jù)計算外接球半徑．

解答 解：由三視圖可知該幾何體為各面均為直角三角形的三棱錐，如圖所示，
由∠BDC=90°可知BC為平面PBC在球截面的直徑，
同理，AD為平面ABD在球截面的直徑，
取AC的中點M，BC的中點N，AD的中點P，連結(jié)MP，MN，則MP⊥平面ABD，MN⊥平面BCD，
∴M是三棱錐外接球的球心．
∵AB=BD=CD=2，∴BC=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴三棱錐外接球的半徑R=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{3}$．
∴三棱錐外接球的表面積S=4πR²=12π．
故答案為12π．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征與三視圖，棱錐與球的關(guān)系，球的表面積計算，作出棱錐的直觀圖是關(guān)鍵．