Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=100n-n²（n∈N₊）．
（1）{a_n}是什么數(shù)列？
（2）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+101，可得{a_n}是等差數(shù)列；
（2）可得數(shù)列{a_n}的前50項(xiàng)為正數(shù)，從第51項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，故當(dāng)n≤50時(shí)，{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=S_n；當(dāng)n＞50時(shí)，{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=-S_n+2S₅₀，代入已知式子化簡(jiǎn)可得．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=100n-n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=100n-n²-100（n-1）+（n-1）²=-2n+101，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=100-1=99，適合上式，
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-2n+101，
∴{a_n}是等差數(shù)列；
（2）∵b_n=|a_n|=|-2n+101|，
解-2n+101≤0可得n≥

101

2

，
∴數(shù)列{a_n}的前50項(xiàng)為正數(shù)，從第51項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，
∴當(dāng)n≤50時(shí)，{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=S_n=100n-n²；
當(dāng)n＞50時(shí)，{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=S₅₀-a₅₁-a₅₂-…-a_n
=-S_n+2S₅₀=-100n+n²+2（100×50-50²）=5000-100n+n²

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式和分類討論的思想，屬中檔題．