Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求S_n；
（3）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）令a_n≥0，解得n≤5，可得|a_n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

．對(duì)n分類討論，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（3）b_n=

1

n(12-10+2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=8，a₄=2．
∴8+3d=2，解得d=-2．
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
∴a_n=10-2n．
（2）令a_n≥0，解得n≤5，
∴|a_n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，S_n=8+6+…+（10-2n）=

n(8+10-2n)

2

=9n-n²；
當(dāng)n≥6時(shí)，S_n=20+2+4+…+（2n-10）
=20+

(n-5)(2+2n-10)

2

=n²-9n+40．
∴S_n=

9n-n2，1≤n≤5 n2-9n+40，n≥6

．
（3）b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)
=

n

2+2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值數(shù)列的求和問(wèn)題，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．