Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為e=$\frac{1}{2}$，過點（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
（I）求橢圓C的方程；
（II）過A（-a，0）且互相垂直的兩條直線l₁、l₂與橢圓C的另一個交點分別為P、Q．問：直線PQ是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的離心率公式求得a與c的關(guān)系，則b²=a²-c²=3c²，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）由A點坐標，當直線PQ斜率不存在時，代入橢圓方程，求得交點坐標，當直線的斜率存在時，代入橢圓方程，利用韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得定點．

解答 解：（I）橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
由b²=a²-c²=3c²，
將（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，解得：c=1，
則a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）由（I）知A（-2，0），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
①當Q⊥x軸時，不妨設l₁、l₂的斜率分別為1，-1，則l₁：y=x+2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：x₁=-$\frac{2}{7}$，同理x₂=-$\frac{2}{7}$，
此時直線PQ與x軸交于點M（-$\frac{2}{7}$，0）…（6分）
②當直線PQ與x軸不垂直時，設線PQ方程為y=k（x-m），（k≠0），
代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²-8k²mx+（4k²m²-12）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…（8分）
∵AP⊥AQ，$\overrightarrow{AP}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{AQ}$=（x₂+2，y₂），∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁-m）（x₂-m）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（2-k²m）（x₁+x₂）+k²m²=0…（9分）
∴（k²+1）×$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$+（2-k²m）×$\frac{8{k}^{2}m}{4{k}^{2}+3}$+k²m²=0．
化簡得7m²+16m+4=0，解得m=-$\frac{2}{7}$或m=-2，…（10分）
當m=-2時，直線PQ與x軸交點與A重合，不合題意．
∴直線PQ與x軸交于點M（-$\frac{2}{7}$，0），…（11分）
綜上所述，直線PQ經(jīng)過定點M（-$\frac{2}{7}$，0）．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．