Question

10．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=1，則異面直線BC₁與CD₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BC₁與CD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得B（1，2，0），C₁（0，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
設(shè)異面直線BC₁與CD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線BC₁與CD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．