在直角坐標系xoy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），C（-1，
3
2
）；以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過C點，
（1）求橢圓方程；
（2）設點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點M、N，使（
PM
+
PN
）•
MN
=0？
若存在．求出直線l斜率的取值范圍；
（3）對于y軸上的點P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點M、N，使（
PM
+
PN
）•
MN
=0，試求實數(shù)n的取值范圍．
分析：（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由焦點A（-1，0），B（1，0）及橢圓過C（-1，
3
2
)可得到橢圓方程．
（2）由(
DM
+
DN
)•
MN
=0，知|
DM
|=|
DN
|，設直線方程y=kx+m，（k≠0），設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點Q（x0，y0）．由題知
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
可得（3+4k2）x2+8kmx+4k2-12=0，x0=
x1+x2
2
=-
4km
3+4k2
，y0=
3m
3+4k2
，由△＞0可得4k2+3＞m2，由|
DM
|=|
DN|
可得4k2＜-2矛盾．所以符合條件的直線不存在．
（3）由
y0-n
x0
=-
1
k
，可推出4k2＜
1
n2
-3，要使k存在解得n的取值范圍是(-
3
，0)∪(0，
3
)．
解答：解：（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，由焦點A（-1，0），B（1，0）及橢圓過C（-1，
3
2
)可得，
(-1)2
a2
+
(
3
2
)2
b2
=1
a2-b2=1
，
解得
a2=4
b2=3
，即橢圓方程是
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）∵(
DM
+
DN
)•
MN
=0，
∴|
DM
|=|
DN
|，
由題知直線的斜率存在．可設直線方程為
y=kx+m，（k≠0），
設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點Q（x0，y0）．
由題知
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，
得（3+4k2）x2+8kmx+4k2-12=0，
得x0=
x1+x2
2
=-
4km
3+4k2
，y0=
3m
3+4k2
，
由△＞0，得4k2+3＞m2，
由|
DM
|=|
DN|
，得
y0-1
x0
=-
1
k
，
即m=-3-4k2，又由4k2+3＞m2，可得4k2＜-2矛盾．
所以符合條件的直線不存在．
（3）由（2）知
y0-n
x0
=-
1
k
，
推出4k2＜
1
n2
-3，
要使k存在只需
1
n2
-3＞0，
解得n的取值范圍是(-
3
，0)∪(0，
3
)．
點評：本題考查橢圓方程的求法和判斷直線方程是否存在，求實數(shù)n的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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