Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點(diǎn)，求 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知 ，則該直線方程為： ，

代入y2=2px（p＞0）得： ，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則有x1+x2=3p

∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2

∴拋物線的方程為：y2=4x．

（2）解：設(shè)l方程為y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b﹣4）x+b2=0，

∵l為拋物線C的切線，∴△=0，

解得b=1，∴l(xiāng)：y=x+1

由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1

設(shè)P（m，m+1），則

∴

=

∵x1+x2=6，x1x2=1， ，y1y2=﹣4， ，

∴ ，

∴

=2[m2﹣4m﹣3]=2[（m﹣2）2﹣7]≥﹣14

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)， 的最小值為﹣14．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線代入拋物線，利用|MN|=8，可得x1+x2+p=8，即可求拋物線C的方程；（2）設(shè)l方程為y=x+b，代入y2=4x，利用直線l為拋物線C的切線，求出b，再利用向量的數(shù)量積公式求 ，利用配方法可求最小值．