【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)直線l為拋物線C的切線,且l∥MN,P為l上一點(diǎn),求 的最小值.

【答案】
(1)解:由題可知 ,則該直線方程為:

代入y2=2px(p>0)得: ,

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2=3p

∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2

∴拋物線的方程為:y2=4x.


(2)解:設(shè)l方程為y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b﹣4)x+b2=0,

∵l為拋物線C的切線,∴△=0,

解得b=1,∴l(xiāng):y=x+1

由(1)可知:x1+x2=6,x1x2=1

設(shè)P(m,m+1),則

=

∵x1+x2=6,x1x2=1, ,y1y2=﹣4, ,

,

=2[m2﹣4m﹣3]=2[(m﹣2)2﹣7]≥﹣14

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí),即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí), 的最小值為﹣14.


【解析】(1)過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線代入拋物線,利用|MN|=8,可得x1+x2+p=8,即可求拋物線C的方程;(2)設(shè)l方程為y=x+b,代入y2=4x,利用直線l為拋物線C的切線,求出b,再利用向量的數(shù)量積公式求 ,利用配方法可求最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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身高/cm(x)

150

155

160

165

170

體重/kg(y)

43

46

49

51

56


(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,計(jì)算身高為168cm時(shí),體重的估計(jì)值 為多少?
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