橢圓的方程為,離心率為,且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1,拋物線的方程為,拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.

(1)求橢圓和拋物線的方程;

(2)過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)N,已知的值.

(3)直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q,P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′,滿足(O為原點(diǎn)),若點(diǎn)S滿足,判定點(diǎn)S是否在橢圓上,并說明理由.

 

(1)(2)-1(3)見解析

【解析】

試題分析:

(1)根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程,題目已知離心率即可得到的值,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形以焦距為底邊長,以短半軸長為高,即該三角形的面積為,再根據(jù)之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的交點(diǎn)在x軸的正半軸,故拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),即可求出得到拋物線的方程.

(2)討論直線AB的斜率,當(dāng)斜率不存在時(shí)與y軸沒有交點(diǎn),所以不符合題意,則斜率存在,設(shè)直線AB的斜率為k得到直線AB的方程,聯(lián)立直線與拋物線的方程得到AB兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理,把向量的橫坐標(biāo)帶入向量的坐標(biāo)表示得到之間的關(guān)系為反解,帶入,利用(韋達(dá)定理)帶入即可得到為定值.

(3)設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),則可以得到的坐標(biāo),帶入條件得到P,Q橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,因?yàn)镻,Q在橢圓上,則滿足橢圓的方程,這兩個(gè)條件得到的三個(gè)式子相加配方即可證明點(diǎn)S在橢圓上,即滿足橢圓的方程.

試題解析:

(1)由題意,橢圓的方程為,又

解得,∴橢圓的方程是.由此可知拋物線的焦點(diǎn)為,得,所以拋物線的方程為. 4分

(2)是定值,且定值為,由題意知,

直線的斜率存在且不為,設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立方程組

消去得:,由,整理得可得

. 9分

(3)設(shè)

將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程得,

由①+②+③得

所以點(diǎn)滿足橢圓的方程,所以點(diǎn)在橢圓上. 13分

考點(diǎn):拋物線橢圓根與系數(shù)的關(guān)系

 

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在△ABC中,若,則cosB的值為( )

(A) (B) (C) (D)

 

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已知雙曲線的漸近線方程為,則以它的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓的離心率等于( )

A. B. C. D.1

 

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已知直線過點(diǎn),則的最小值為_________.

 

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設(shè),則“”是“”的( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

 

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若關(guān)于x的不等式(組)恒成立,則所有這樣的解x構(gòu)成的集合是____________.

 

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現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)①,③,④的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照?qǐng)D象從左到右的順序,對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)正確的一組是( )

A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①

 

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已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則其漸近線方程為_______.

 

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若復(fù)數(shù)z滿足(z+2)i=5+5i(i為虛數(shù)單位),則z為

A.3+5i B.-3-5i C.-3+5i D.3-5i

 

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