Question

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2

2

．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求W的方程；
（2）若AB的斜率為2，求證

OA

•

OB

為定值．
（3）求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）據(jù)題意應(yīng)為雙曲線一支，由c=2，a=

2

，能得到曲線方程．
（2）設(shè)AB：y=2x+b，將其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理能夠證明

OA

•

OB

為定值．
（3）法一：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=x₀，此時(shí)A（x₀，

x 2 0 -2

），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1中，得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依題意知

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)≥0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，由此能夠解得

OA

•

OB

的最小值為2．
法二：，A，B在右支，故x₁，x₂＞0，

OA

•OB

=x1x2+y1y2=

2+y12

•

2+y22

+y1y2=

y12y22+4(y12+y22)+4

+y1y2≥

y12y22+4|y1y2|+4

+y1y2=|y1y2|+2+y1y2≥2．由此能夠解得

OA

•

OB

的最小值為2．

解答：解：（1）據(jù)題意應(yīng)為雙曲線一支，
c=2，a=

2

，
∴曲線方程為x²-y²=2（x≥

2

）．（2分）
（2）設(shè)AB：y=2x+b，
將其代入x²-y²=2，得3x²+4bx+b²+2=0…（1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂為（1）的兩根．x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

b2+2

3

，

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1+b)(2x2+b)=5x1x2+2b(x1+x2)+b2
=5•

b2+2

3

+2b•(-

4b

3

)+b2=

10

3

，是定值．（8分）
（3）法一：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為x=x₀，
此時(shí)A（x₀，

x 2 0 -2

），B（x₀，-

x 2 0 -2

），

OA

•

OB

=2
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
代入雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1中，
得：（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0
依題意可知方程1？有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

△=4k2b2-4(1-k2)•(-b2-2)≥0 x1+x2= 2kb 1-k2 ＞0 x1x2= b2+2 k2-1 ＞0

，
解得|k|＞1，
又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=

2k2+2

k2-1

=2+

4

k2-1

＞2   
  綜上可知

OA

•

OB

的最小值為2（14分）
法二：，A，B在右支，
故x₁，x₂＞0，

OA

•OB

=x1x2+y1y2=

2+y12

•

2+y22

+y1y2
=

y12+y22+2(y12y22)+4

+y1y2
≥

y12+y22+4|y1y2|+4

+y1y2
=|y₁y₂|+2+y₁y₂≥2，y₁=-y₂時(shí)，“=”成立，
故

OA

•

OB

的最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．