Question

4．已知lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），則xy的最小值是1，x+y的最小值是2，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2．

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)稱的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)得到3xy=x+y+1，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵lg（3x）+lgy=lg（3xy）=lg（x+y+1），x＞0，y＞0，
∴3xy=x+y+1，
∴3xy≥3$\root{3}{xy}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，
即xy≥1，
∴xy的最小值是1，
由x+y≥2$\sqrt{xy}$≥2，
∴x+y的最小值是2，
由3xy=x+y+1，得到x+y=3xy-1，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{3xy-1}{xy}$=3-$\frac{1}{xy}$≥3-1=2，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2
故答案為：1，2，2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．