Question

3．求關(guān)于x的不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$的解集．

Answer 1

分析 把不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$化為$\frac{（a-1）x-a+2}{x-2}$＞0，討論a-1=0、0＜a＜1以及a＞1時，解不等式即可．

解答 解：關(guān)于x的不等式$\frac{{a（{x-1}）}}{x-2}＞1（{a＞0}）$，
化為$\frac{a（x-1）}{x-2}$-1＞0，
即$\frac{ax-a-x+2}{x-2}$＞0，
∴$\frac{（a-1）x-a+2}{x-2}$＞0；
當(dāng)a-1=0時，a=1，
不等式化為$\frac{1}{x-2}$＞0，
解得x＞2；
當(dāng)0＜a＜1時，a-1＜0，
不等式化為$\frac{（1-a）x-a+2}{x-2}$＜0，
解得$\frac{a-2}{1-a}$＜x＜2；
當(dāng)a＞1時，a-1＞0，
解不等式得x＜$\frac{a-2}{a-1}$或x＞2；
綜上，a=1時，不等式的解集為{x|x＞2}；
0＜a＜1時，不等式的解集為{x|$\frac{a-2}{1-a}$＜x＜2}；
a＞1時，不等式的解集為{x|x＜$\frac{a-2}{a-1}$或x＞2}．

點評 本題考查了含字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合題．