Question

【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓過點(diǎn)和，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)，且.

（1）求直線的方程；

（2）求圓的方程；

（3）是否存在點(diǎn)在圓上，使得的面積為？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？說明理由，并求出這些點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) (2)或;（3）存在，有兩個(gè)點(diǎn),當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為或;當(dāng)時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為或

【解析】

（1）由題意知直線垂直平分線段，由的坐標(biāo)求得所在直線的斜率，可得所在直線的斜率，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線點(diǎn)斜式方程即得答案;

（2）由題意知線段為圓的直徑，可得.設(shè)圓P的方程為，把的坐標(biāo)代入圓的方程，聯(lián)立求得的值，即可求得圓的方程;

(3)由,當(dāng)的面積為時(shí),則點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)閳A心到直線的距離為,且，可知圓上共有兩個(gè)點(diǎn)滿足條件，通過求出的平行直線和圓聯(lián)立即可求出點(diǎn)坐標(biāo).

(1)由題意知直線垂直平分線段，

中點(diǎn)坐標(biāo),又 ，，

∴直線的方程為，即；

(2)由題意知線段為圓的直徑，

設(shè)圓P的方程為，

∵圓經(jīng)過點(diǎn)，

，

解得或.

∴圓的方程為或.

（3）,當(dāng)的面積為時(shí),點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)閳A心到直線的距離為，圓的半徑為,且，

圓上共有兩個(gè)點(diǎn),使的面積為18.

點(diǎn)在與直線平行且距離直線的為的直線上，同時(shí)圓心到直線的距離為.直線與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn).

當(dāng)時(shí),可求得直線

或，所以此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或;

當(dāng)時(shí),可求得直線

或，所以此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或;