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【題目】已知函數為常數,是自然對數的底數),曲線在點處的切線與軸垂直.

1)求的單調區(qū)間;

2)設,對任意,證明:

【答案】1的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是2證明見解析.

【解析】

試題分析:1求出,根據曲線在點處的切線與軸垂直即切線斜率為,求出的值,解即得函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;2由于,所以整理,分別證明時,,根據(1)可知:當時,由(1)知成立;當時,,,即證,構造函數,利用導數研究其在單調性,求出其在上的最大值即可證得,再構造函數,利用導數求出其最小值,根據不等式的性質即可得到要證明的結論.

試題解析:1)因為,由已知得,

所以

,則,在上恒成立,即上是減函數,

知,當,從而,當,從而

綜上可知,的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是

2)因為,要證原式成立即證成立,

現(xiàn)證明:對任意恒成立,

時,由(1)知成立;

時,,且由(1)知,

,則,

時,,當時,,所以當時,取得最大值 所以,即時,

綜上所述,對任意

,則恒成立,所以上遞增,

恒成立,即,即

時,有;當時,由①②式,,

綜上所述,時,成立,故原不等式成立

練習冊系列答案
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