Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（x∈R，ab≠0），給出下列命題：
①存在a，b使f（x）是奇函數(shù)；
②若對(duì)任意x∈R，存在x₁，x₂，使f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為π；
③過點(diǎn)（a，b）作直線l，則直線l與函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（x∈R，ab≠0）的圖象必有交點(diǎn)；
④若對(duì)任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，則a=b；
⑤若tanα=

a

b

，則f（α）=±

a2+b2

．
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①若f（x）是奇函數(shù)，由f（-x）=-f（x）得b=0，即可判斷；
②函數(shù)的最小正周期為2π，由條件得，最小值為π，即可判斷；
③由于點(diǎn)（a，b）在f（x）的圖象與x軸圍成的圖形之間，故直線l與函數(shù)f（x）的圖象必有交點(diǎn)，故可判斷；
④若對(duì)任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，則|

2

2

（a-b）|≤0，即可判斷；
⑤若tanα=

a

b

，則f（α）=asinα+bcosα=btanα•sinα+bcosα化簡(jiǎn)即可得到．

解答： 解：①若f（x）是奇函數(shù)，由f（-x）=-f（x）得b=0，由于ab≠0，故①錯(cuò)；
②函數(shù)的最小正周期為2π，若對(duì)任意x∈R，存在x₁，x₂，使f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
則|x₁-x₂|的最小值為π，故②對(duì)；
③過點(diǎn)（a，b）作直線l，若直線為x=a，代入f（x），則f（a）存在；若直線為y=b，由于f（x）的最大值為

a2+b2

＞|b|，故有交點(diǎn)；由于點(diǎn)（a，b）在f（x）的圖象與x軸圍成的圖形之間，故直線l與函數(shù)f（x）的圖象必有交點(diǎn)，故③對(duì)；
④若對(duì)任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，則|

2

2

（a-b）|≤0，但|

2

2

（a-b）|≥0，則a-b=0，故④對(duì)；
⑤若tanα=

a

b

，則f（α）=asinα+bcosα=btanα•sinα+bcosα=

b

cosα

=b•（±

a2+b2

b

）=±

a2+b2

，
故⑤對(duì)．
故答案為：②③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性、最值和圖象交點(diǎn)問題，考查三角公式的運(yùn)用，屬于中檔題．