Question

6．過點C（2，2）作一直線與拋物線y²=4x交于A，B兩點，點P是拋物線y²=4x上到直線l：y=x+2的距離最小的點，直線AP與直線l交于點Q．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）求證：直線BQ平行于拋物線的對稱軸．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點P的坐標為（x₀，y₀），利用點到直線的距離公式通過最小值，求出P點坐標．
（Ⅱ）設點A的坐標為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．當y₁=-2時，求出直線AP的方程；當y₁≠-2時，求出直線AP的方程與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點Q的縱坐標，求出B點的縱坐標，推出BQ∥x軸，求出直線AC的方程與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，求得點B的縱坐標，然后推出結果BQ∥x軸．

解答 解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x₀，y₀），則$y_0^2=4{x_0}$，
所以，點P到直線l的距離$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{y_0^2}{4}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{{{（{{y_0}-2}）}^2}+4}|}}{{4\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
當且僅當y₀=2時等號成立，此時P點坐標為（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）設點A的坐標為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．
當y₁=-2時，A點坐標為（1，-2），直線AP的方程為x=1；
當y₁≠-2時，直線AP的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}（{x-1}）$，
化簡得4x-（y₁+2）y+2y₁=0；
綜上，直線AP的方程為4x-（y₁+2）y+2y₁=0．
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點Q的縱坐標為${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
當$y_1^2=8$時，直線AC的方程為x=2，可得B點的縱坐標為y_B=-y₁．
此時${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}=2-\frac{4}{{{y_1}-2}}=2-\frac{{4（{{y_1}+2}）}}{y_1^2-4}=-{y_1}$，
即知BQ∥x軸，
當$y_1^2≠8$時，直線AC的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}（{x-2}）$，
化簡得$（{4{y_1}-8}）x-（{y_1^2-8}）y+（{2y_1^2-8{y_1}}）=0$，
與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，消去x，
可得$（{{y_1}-2}）{y^2}-（{y_1^2-8}）y+（{2y_1^2-8{y_1}}）=0$，
所以點B的縱坐標為${y_B}=\frac{y_1^2-8}{{{y_1}-2}}-{y_1}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
從而可得BQ∥x軸，
所以，BQ∥x軸．…（13分）

點評 本題主要考查拋物線的標準方程與幾何性質、直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、特殊與一般，分類與整合等數(shù)學思想．