Question

已知向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+

b

2．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得f（x）═5sin（2x+

π

6

）+

7

2

，再由三角函數(shù)的周期公式和單調(diào)區(qū)間公式，即可算出f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，進(jìn)而可以算出函數(shù)
f（x）的值域．

解答：解：（1）∵向量

a

=（5

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+

b

2=5

3

cosxsinx+2cos²x+（sin²x+4cos²x）
=

5 3

2

sin2x+

5

2

（1+cos2x）+1=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．---（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z）
∴函數(shù)的增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]．------------（8分）
（2）由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∵1≤5sin（2x+

π

6

）+

7

2

≤

17

2

，
∴當(dāng)

π

6

≤x≤

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，

17

2

]．---------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的周期公式和三角恒等變換等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．