Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，從第二項(xiàng)起每項(xiàng)都等于它前面各項(xiàng)之和．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)之和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得a_n=S_n-1，n≥2，由此能求出a_n=

1，n=1 2n-2，n≥2

．當(dāng)n≥2，S_n=1+

1×(1-2n-1)

1-2

=2^n-1．當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，從而得到S_n=2^n-1．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，從第二項(xiàng)起每項(xiàng)都等于它前面各項(xiàng)之和，
∴a_n=S_n-1，n≥2，∴a_n+1=S_n，
∴a_n=S_n-S_n-1=a_n+1-a_n，
∴2a_n=a_n+1，

an+1

an

=2，a₂=S₁=1，
∴a_n=

1，n=1 2n-2，n≥2

．
∵q≠1，當(dāng)n≥2，
∴S_n=1+

1×(1-2n-1)

1-2

=2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴S_n=2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．