Question

如圖，在y軸的正半軸上依次有點A₁、A₂、…、A_n，其中點A₁（0，1）、A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁、B₂、…、B_n，點B₁的坐標為（3，3），且|OB_n|=|OB_n-1|+2

2

（n=2，3，4，…）．
（1）求點A_n、B_n的坐標（用含n的式子表示）；
（2）設四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1面積為S_n，求數(shù)列{S_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，及|A₁A₂|=9，結合等比數(shù)列的通項公式求得|A_nA_n+1|，結合等比數(shù)列的求和公式，可得|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|，從而得出A_n的坐標；確定{|OB_n|}是3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列，可求B_n的坐標；
（2）①連接A_nB_n+1，設四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，則S_n=S△AnA n+1Bn+1+S△BnBn+1An．

解答： 解：（1）|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|，且|A₁A₂|=10-1=9，
∴|A_nA_n+1|=|A₁A₂|(

1

3

)n-1(

1

3

)n-3．
∴|A₁A₂|+|A₂A₃|+…+|A_n-1A_n|=9+3+1+…+(

1

3

)n-4=

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4，
∴A_n的坐標（0，

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4），
∵|OB_n|-|OB_n-1|=2 （n=2，3，…）且|OB₁|=3

2

，
∴{|OB_n|}是以3

2

為首項，2

2

為公差的等差數(shù)列
∴|OB_n|=3

2

+（n-1）×2

2

=（2n+1）

2

，
∴B_n的坐標為（2n+1，2n+1）．
（2）連接A_nB_n+1，設四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n，
則S_n=S△AnA n+1Bn+1+S△BnBn+1An=

1

2

•（

1

3

）^n-3×（2n+3）+

1

2

•2

2

[

29

2

-

1

2

•(

1

3

)n-4]•

2

2

=

29

2

+

n

3n-3

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結合、等比數(shù)列的通項公式、等差關系的確定等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于難題．