【題目】已知函數(shù) ． （Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明．

【答案】解：（Ⅰ）∵ ∴g（x）=f（x）﹣a= ，
∵g（x）是奇函數(shù)，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即 ，
解之得a=1．
（Ⅱ）設(shè)0＜x1＜x2 ， 則
= ．
∵0＜x1＜x2 ，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，從而 ，
即f（x1）＜f（x2）．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)
【解析】（I）根據(jù)f（x）表達式，得g（x）= ，再根據(jù)奇函數(shù)的定義采用比較系數(shù)法即可求出實數(shù)a的值．（II）設(shè)0＜x1＜x2 ， 將f（x1）與f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義得到函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調(diào)性的綜合，掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓C1： +y2=1，x軸被曲線C2：y=x2﹣b截得的線段長等于C1的長半軸長．

（1）求實數(shù)b的值；
（2）設(shè)C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A、B，直線MA、MB分別與C1相交于D、E．
①證明： =0；
②記△MAB，△MDE的面積分別是S1 ， S2 ． 若 =λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) ，常數(shù)a＞0．
（1）設(shè)mn＞0，證明：函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC= ，則異面直線A1C與B1C1所成的角為 ． ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= + ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）設(shè)F（x）= [f2（x）﹣2]+f（x）（a為實數(shù)），求F（x）在a＜0時的最大值g（a）；
（3）對（2）中g(shù)（a），若﹣m2+2tm+ ≤g（a）對a＜0所有的實數(shù)a及t∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）直接寫出函數(shù)f（x）的值域；
（3）求 f[f（﹣1）]的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（ax﹣1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當a＞1時，解關(guān)于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）當a=2時，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m對任意實數(shù)x∈[1，3]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知經(jīng)過點A（﹣4，0）的動直線l與拋物線G：x2=2py（p＞0）相交于B、C，當直線l的斜率是 時， ． （Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|（x+1）．
（1）將f（x）寫成分段函數(shù)，并作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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