已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)，過右焦點F斜率為
2
的直線與橢圓C交于A、B兩點，若
AF
=3
FB
，則橢圓C的離心率為（　�。�
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
2
D、
3
2
分析：設(shè) |
AF
|=3m，|
BF
|=m，故|AB|=4m．由橢圓的第二定義可得|AD|=
3m
e
，|BC|=
m
e
，求得|AE|=
2m
e
．
由AB的斜率tan∠BAE=
2
，可得cos∠BAE 的值，再由cos∠BAE=
|AE|
|AB|
 求出e的值．
解答：解：如圖所示：過點A作AD垂直于右準線，垂足為D；過點B作BC垂直于右準線，垂足為C；
過點B作BE垂直于AD，垂足為E．
因為
AF
=3
FB
，可設(shè) |
AF
|=3m，|
BF
|=m，故|AB|=4m．
由橢圓的第二定義可得|AD|=
3m
e
，|BC|=
m
e
，|AE|=|AD|-|ED|=|AD|-|BC|=
2m
e
．
由于直線AB的斜率等于
2
，∴tan∠BAE=
2
，∴cos∠BAE=
3
3
．
直角三角形ABE中，cos∠BAE=
|AE|
|AB|
=
2m
e
4m
=
1
2e
=
3
3
，解得離心率e=
3
2
，
故選：D．
精英家教網(wǎng)
點評：本題考查橢圓的第二定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，直角三角形中的邊角關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形
結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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