Question

1．已知F₁、F₂分別為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P在橢圓E上，且|PF₁|的最小值為1，最大值為3．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過F₁的直線l₁，l₂分別交橢圓E于點A，C和B，D，且l₁⊥l₂，則$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)的值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a-c=1，a+c=3，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）對k分類討論，把直線方程代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、弦長公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可知：|PF₁|_min=a-c=1，|PF₁|_max=a+c=3，
解得：a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）①當(dāng)AC的斜率為零或斜率不存在時，則丨AC丨=2a=4，丨BD丨=$\frac{2^{2}}{a}$=3，
$\frac{1}{丨AC丨}$+$\frac{1}{丨BD丨}$=$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$=$\frac{7}{12}$；
則$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$是常數(shù)$\frac{7}{12}$；
②當(dāng)AC的斜率k存在且k≠0時，AC的方程為y=k（x+1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，并化簡得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵直線BD的斜率為-$\frac{1}{k}$，
∴|BD|=$\frac{12[1+（-\frac{1}{k}）]}{3+4（-\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴則$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$=$\frac{1}{丨AC丨}$+$\frac{1}{丨BD丨}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$+$\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$；
綜上：則$\frac{|AC|+|BD|}{|AC|×|BD|}$為常數(shù)$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．