Question

19．已知向量$\vec a=（sinx，cosx），\vec b=（cosx，cosx）$，函數(shù)$f（x）=\vec a•（\vec a+\vec b）-\frac{3}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件寫出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合解析式求得函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象來求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x-$\frac{3}{2}$=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（cos2x+1）-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
所以f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期是π．
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
所以，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ⇒-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式、倍角公式、三角次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．