Question

9．圓C過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（4，0），直線l過(guò)原點(diǎn)O，與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=8．

Answer 1

分析 由題意，圓看成是圓外一點(diǎn)（原點(diǎn)0）向圓作兩條交線．根據(jù)割線定理即可得到答案．

解答 解：由題意：圓C過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（4，0），相當(dāng)于圓與直線AB相交，∴|OA|=2，|OB|=4
直線l過(guò)原點(diǎn)O，與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，即為圓外一點(diǎn)（原點(diǎn)0）向圓作兩條割線AB與PQ．
∵O，P，Q三點(diǎn)在一條直線上，夾角為0，
cos0=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|OP|•|OQ|}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=|OQ|•|OP|，
由圓的割線定理知：|OQ|•|OP|=|OA|•|OB|=8，
所以：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=8，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的割線長(zhǎng)度關(guān)系，利用割線定理求解．屬于基礎(chǔ)題．