Question

6．四面體ABCD及其三視圖如圖所示，點E、F、G、H分別是棱AB、BD、DC、CA的中點．
（1）證明：四邊形EFGH是矩形；
（2）求四面體ABCD的表面積．
（3）求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：四邊形EFGH是平行四邊形，AD⊥平面BDC，即可證明四邊形EFGH是矩形；
（2）S_{四面體ABCD}=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD+S_△ABC，即可求四面體ABCD的表面積．
（3）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量的方法求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值．

解答 （1）證明：由該四面體的三視圖可知，
BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1．
由題設可知，BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．
EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形．
（2）解：由三視圖可知，BD=DC=2，AD=1，則有AB=AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$
∴S_△ABD=S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×1$=1，S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$
∴S_{四面體ABCD}=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD+S_△ABC=4+$\sqrt{6}$
（3）解：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∵E是AB的中點，∴F，G分別為BD，DC的中點，
得E（1，0，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（1，0，0），G（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{FE}$=（0，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FG}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（-2，0，1）．
設平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}z=0\\-x+y=0\end{array}$取$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴sin θ=|cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面積的計算，考查向量方法的運用，正確求出平面的法向量是關鍵．