Question

10．已知圓O的半徑為2，PA、PB為圓O的兩條切線，A、B為切點（A與B不重合），則$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的最小值為（　�。�

• A． -12+4$\sqrt{2}$
• B． -16+4$\sqrt{2}$
• C． -12+8$\sqrt{2}$
• D． -16+8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用圓切線的性質(zhì)：與圓心切點連線垂直；設出一個角，通過解直角三角形求出PA，PB的長；利用向量的數(shù)量積公式表示出$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$；利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù)，通過換元，再利用基本不等式求出最值．

解答 解：設PA與PO的夾角為α，則|PA|=|PB|=$\frac{2}{tanα}$，
y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PB}$|cos2α
=$\frac{4}{ta{n}^{2}α}$•cos2α=$\frac{4co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$•cos2α
=4$•\frac{1+cos2α}{1-cos2α}•cos2α$
記cos2α=μ．則y=4$•\frac{μ（μ+1）}{1-μ}$=4[（-μ-2）+$\frac{2}{1-μ}$]=-12+4（1-μ）+$\frac{8}{1-μ}$
≥-12+8$\sqrt{2}$．當且僅當μ=1-$\sqrt{2}$時，y取得最小值：8$\sqrt{2}-12$．
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為8$\sqrt{2}$-12．
故選：C．

點評 本題考查圓切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值．