Question

20．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，點E，F(xiàn)分別在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4．過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．
（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（保留畫圖痕跡，不用說明畫法和理由）
（Ⅱ）求平面α把該長方體分成的兩部分中較小部分的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在面ABCD中做HG平行于BC，連接EH，F(xiàn)G，則EFGH就是所求正方形．
（Ⅱ）由圖形可以看出左半部分體積小，由此能求出平面α把該長方體分成的兩部分中較小部分的體積．

解答 解：（Ⅰ）交線圍成的正方形EHGF，
如圖，在面ABCD中做HG平行于BC，連接EH，F(xiàn)G且HB=GC=6，則EF平行且等于HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形，EF平行于A₁D₁，
所以EF垂直面A₁AB₁B，所以EF垂直于EH，且由題意得EH=FG=10，
所以EFGH是正方形．（6分）
（Ⅱ）由圖形可以看出左半部分體積小…（2分），
所以平面α把該長方體分成的兩部分中較小部分的體積：
$V=\frac{1}{2}（{4+10}）×8×10=560$…（6分）

點評 本題考查正方形的畫法，考查幾何體體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．