Question

如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD=6，AD=2，BC=8，∠B=60°，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，
（1）若點(diǎn)G在CD上，△DEF是等邊三角形，設(shè)BE=x，△GEF的邊長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）在第（1）小題中，連結(jié)AF，若AF⊥EG，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,解三角形

分析：（1）由已知，三角形EFG是等邊三角形，設(shè)∠EFB=α，則∠BEF=120°-α；而∠GFC=120°-α，且∠B=∠C=60°，所以∠FGC=α，又EF=FG，由此可知三角形BEF與三角形GF；所以FC=EB=x，則在三角形BEF中，運(yùn)用余弦定理可得y與x的關(guān)系式；當(dāng)G與D重合時(shí)，可知x最小，E與A重合時(shí)，x最大，據(jù)此得定義域；
（2）由（1）知，BE=x，BF=8-x，結(jié)合∠B=60°，在直角三角形BEF中，x可求．

解答： 解：（1）由已知，∠B=∠C，設(shè)∠BFE=α，則∠BEF=∠GFC=120°-α，且EF=FG=y，
所以△BEF≌△CFG，所以BE=FC=x，BF=8-x
在三角形BEF中由余弦定理得EF²=BE²+BF²-2BE•BFcosB，
即y²=x²+（8-x）²-2x（8-x）cos60°，化簡(jiǎn)得：
y=

3x2-24x+64

，x∈[2，6]．
（2）若EG⊥AF，則AF垂直平分EG，連接AG，則AG=AE=6-x，
又由（1）知CG=BF=8-x，所以DG=6-（8-x）=x-2，AD=2，
則在三角形ADG中，∠ADG=120°，
所以由余弦定理得AG²=AD²+DG²-2AD•DGcos120°，即（6-x）²=4+（x-2）²-2×2（x-2）cos120°，
解得x=

16

5

，所以BE的長(zhǎng)為

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：解決此題用到了平幾的一些基礎(chǔ)知識(shí)，注意復(fù)習(xí)回顧一下；同時(shí)解三角形要注意把所給的和所求的條件、結(jié)論盡量歸到一個(gè)三角形中，再利用正余弦定理求解．