Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，若$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n對(duì)任意n∈N^*都成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，-8]．

Answer 1

分析 a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，即n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2^n-1．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n.$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n，化為：λ≤$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=f（n）.$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n對(duì)任意n∈N^*都成立，?λ≤f（n）_min．通過(guò)作差即可得出最小值．

解答 解：∵a₁=1，且a_n+1-a_n=2ⁿ，n∈N^*，即n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2^n-1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
∵$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n，化為：λ≤$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=f（n）．
$\frac{16λ}{1+{a}_{n}}$+19≤3n對(duì)任意n∈N^*都成立，?λ≤f（n）_min．
由f（n）≤0，可得n≤$\frac{19}{3}$，因此n≤6時(shí)，f（n）＜0；n≥7時(shí)，f（n）＞0．
f（n+1）-f（n）=$\frac{（3n-16）•{2}^{n+1}}{16}$-$\frac{（3n-19）•{2}^{n}}{16}$=$\frac{（3n-13）•{2}^{n}}{16}$≤0，
解得n≤$\frac{13}{3}$．
∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），
可得f（n）_min=f（5）=-8．
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，-8]．
故答案為：（-∞，-8]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、累加求和方法、不等式的性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、作差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．