Question

4．已知關(guān)于x的不等式|2x-m|＜1的整數(shù)解有且僅有一個為2，其中m∈Z．
（1）求m的值；
（2）設(shè)ab=m，a＞b＞0，證明：$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$≥4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由不等式|2x-m|≤1，可得 $\frac{m-1}{2}$＜x＜$\frac{m+1}{2}$，再由不等式僅有一個整數(shù)解2，求得m的值．
（2）變形，利用基本不等式，即可證明．

解答 （1）解：|2x-m|＜1，即m-1＜2x＜m+1，解得$\frac{m-1}{2}$＜x＜$\frac{m+1}{2}$，
因為不等式的整數(shù)解為2，所以得$\frac{m-1}{2}$＜2＜$\frac{m+1}{2}$，解得3＜m＜5，
因為m∈Z，所以m=4．…（5分）
（2）證明：由題意可知ab=4，a＞b＞0，所以a-b＞0，
因為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}=\frac{{{{（a-b）}^2}+2ab}}{a-b}=（a-b）+\frac{8}{a-b}≥2\sqrt{（a-b）×\frac{8}{a-b}}=4\sqrt{2}$，
（當且僅當$a-b=\frac{8}{a-b}$，即$a=\sqrt{6}+\sqrt{2}，b=\sqrt{6}-\sqrt{2}$時，取最小值）．
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}≥4\sqrt{2}$．-----------------（10分）

點評 此題考查絕對值不等式的性質(zhì)及其解法，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是去掉絕對值，屬于中檔題．