Question

12．定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓．如圖所示，已知：⊙I是△ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點(diǎn)，AD⊥IC于點(diǎn)D．
（1）試探究：D、E、F三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面積之比等于m，$\frac{DE}{EF}=n$，試作出分別以$\frac{m}{n}、\frac{n}{m}$為兩根且二次項系數(shù)為6的一個一元二次方程．

Answer 1

分析 （1）若設(shè)AC與⊙I的切點(diǎn)為M，那么又切線長定理知：∠MCI=∠ECI，即∠ACD=∠KCD，而CD⊥AK，可得兩個條件：AC=CK，AD=DK；同樣由切線長定理知：BE=BF，AF=AM=AC+CE，因此可得$\frac{KD}{DA}•\frac{AF}{FB}•\frac{BE}{EK}=1$，即可證得D、E、F三點(diǎn)共線．
（2）由于AB=AC，即△ABC是等腰三角形，而BC是⊙I的切線，即IE⊥BC，由切線長定理知AI平分∠CAB，即AI⊥BC，因此A、E、I三點(diǎn)共線，由此可得兩組相似三角形：則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，根據(jù)第二組相似三角形得到的比例線段可求得⊙I的半徑，根據(jù)第一組相似三角形可得AD、ID的比例關(guān)系，聯(lián)立AI的長以及勾股定理可確定AD、DI的長；易知∠ADI、∠AFI都是直角，因此A、F、I、D四點(diǎn)共圓（以AI為直徑），即可證得△DEI∽△AEF，根據(jù)DI、AF的長可得m、n的值，進(jìn)而可根據(jù)韋達(dá)定理得出所求的一元二次方程．

解答 解：（1）結(jié)論：D、E、F三點(diǎn)是同在一條直線上．（1分）
證明：分別延長AD、BC交于點(diǎn)K，由旁切圓的定義及題中已知條件得：AD=DK，AC=CK，
再由切線長定理得：AC+CE=AF，BE=BF，（3分）
∴KE=AF．
∴$\frac{KD}{DA}•\frac{AF}{FB}•\frac{BE}{EK}=1$，由梅涅勞斯定理的逆定理可證D、E、F三點(diǎn)共線．      （3分）
（2）∵AB=AC=5，BC=6，∴A、E、I三點(diǎn)共線，CE=BE=3，AE=4，
連結(jié)IF，則△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四點(diǎn)共圓．（2分）
設(shè)⊙I的半徑為r，則：$\frac{3}{r}=\frac{4}{8}，r=6$，∴$AI=10，\frac{AD}{ID}=\frac{3}{6}$，即$AD=2\sqrt{5}$，$ID=4\sqrt{5}$，
∴由△AEF∽△DEI得：$m={（\frac{{4\sqrt{5}}}{8}）^2}=\frac{5}{4}，\frac{DE}{AE}=\frac{{4\sqrt{5}}}{8}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，DE=2\sqrt{5}$，$\frac{IE}{EF}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}，EF=\frac{12}{5}\sqrt{5}$，
∴$n=\frac{5}{6}$．  （4分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{13}{6}}\\{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}=1}\end{array}}\right.$，
因此，由韋達(dá)定理可知：分別以$\frac{m}{n}、\frac{n}{m}$為兩根且二次項系數(shù)為6的一個一元二次方程是6x²-13x+6=0．   （3分）

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、三點(diǎn)共線的判定方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、梅氏定理、勾股定理以及韋達(dá)定理等知識的綜合應(yīng)用，難度較大．