Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，直線(xiàn)l：9x+2y+c=0．
（1）求證：直線(xiàn)l與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切；
（2）若當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在直線(xiàn)l的下方，求c的范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，得出函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率均不小于-4
而直線(xiàn)l的斜率小于4，所以直線(xiàn)l與y=f（x）的圖象不相切．
（2）先根據(jù)題意得到不等式

1

3

x3-x2-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

，然后轉(zhuǎn)化為 c＜ -

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

成立，即求在閉區(qū)間上的最小值問(wèn)題；先對(duì)函數(shù)g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

求導(dǎo)判斷單調(diào)性，即可求出最小值，進(jìn)而得到答案．

解答：證明：（1）f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4
故函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率均不小于-4
而直線(xiàn)l：9x+2y+c=0的斜率為-

9

2

＜-4
所以直線(xiàn)l與y=f（x）的圖象不相切．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象在直線(xiàn)l的下方
即

1

3

x3-2x2-3x-(-

9

2

x-

c

2

)＜0對(duì)一切x∈[-2，2]都成立c＜-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

對(duì)一切x∈[-2，2]都成立
令g(x)=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

  
g′（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0
g（x）在∈[-2，2]上單調(diào)遞減故當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，[g（x）]_min=g（2）=-6
因此c＜-6，即c的范圍是（-∞，-6）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、閉區(qū)間上的恒成立問(wèn)題．閉區(qū)間上的恒成立問(wèn)題一般都是轉(zhuǎn)化為求最值，即使參數(shù)大于最大值或小于最小值的問(wèn)題．