Question

一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4．
（Ⅰ）從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為a，然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為b．求關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的概率；
（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n．若以（m，n）作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，求點(diǎn)P落在區(qū)域

x-y≥0 x+y-5＜0

內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（I）本題是一個(gè)古典概型，由分步計(jì)數(shù)原理知基本事件共12個(gè)，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a≥b，滿足條件的事件中包含6個(gè)基本事件，由古典概型公式得到結(jié)果．
（II）本題也是一個(gè)古典概型，由分步計(jì)數(shù)原理知基本事件共16個(gè)，滿足條件落在區(qū)域

x-y≥0 x+y-5＜0

內(nèi)的事件中包含4個(gè)基本事件，由古典概型公式得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根”．
當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根的充要條件為a≥b．
基本事件共12個(gè)：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．
事件A中包含6個(gè)基本事件：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
事件A發(fā)生的概率為P(A)=

6

12

=

1

2

；
（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，放回后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，點(diǎn)P（m，n）的所有可能有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個(gè)，
落在區(qū)域

x-y≥0 x+y-5＜0

內(nèi)的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1）共4個(gè)，
所以點(diǎn)P落在區(qū)域

x-y≥0 x+y-5＜0

內(nèi)的概率為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．