Question

18．已知橢圓E：$\frac{x^2}{t}$+$\frac{y^2}{3}$=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當(dāng)t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當(dāng)2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、求出t=4時，橢圓方程和頂點A，設(shè)出直線AM的方程，代入橢圓方程，求交點M，運用弦長公式求得|AM|，由垂直的條件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，運用三角形的面積公式可得△AMN的面積；
方法二、運用橢圓的對稱性，可得直線AM的斜率為1，求得AM的方程代入橢圓方程，解方程可得M，N的坐標(biāo)，運用三角形的面積公式計算即可得到；
（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+$\sqrt{t}$），代入橢圓方程，求得交點M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由橢圓的性質(zhì)可得t＞3，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）方法一、t=4時，橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，A（-2，0），
直線AM的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，整理可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得x=-2或x=-$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，則|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|2-$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
由AN⊥AM，可得|AN|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}$•$\frac{12}{3+4•（\frac{-1}{k}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3|k|+\frac{4}{|k|}}$，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3k+\frac{4}{k}}$，
整理可得（k-1）（4k²+k+4）=0，由4k²+k+4=0無實根，可得k=1，
即有△AMN的面積為$\frac{1}{2}$|AM|²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{1+1}$•$\frac{12}{3+4}$）²=$\frac{144}{49}$；
方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對稱，
由MA⊥NA．可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為y=x+2，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得7x²+16x+4=0，
解得x=-2或-$\frac{2}{7}$，M（-$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$），N（-$\frac{2}{7}$，-$\frac{12}{7}$），
則△AMN的面積為$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{7}$×（-$\frac{2}{7}$+2）=$\frac{144}{49}$；
（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+$\sqrt{t}$），代入橢圓方程，
可得（3+tk²）x²+2t$\sqrt{t}$k²x+t²k²-3t=0，
解得x=-$\sqrt{t}$或x=-$\frac{t\sqrt{t}{k}^{2}-3\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$，
即有|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|$\frac{t\sqrt{t}{k}^{2}-3\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$-$\sqrt{t}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$，
|AN|═$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+\frac{t}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3k+\frac{t}{k}}$，
由2|AM|=|AN|，可得2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3k+\frac{t}{k}}$，
整理得t=$\frac{6{k}^{2}-3k}{{k}^{3}-2}$，
由橢圓的焦點在x軸上，則t＞3，即有$\frac{6{k}^{2}-3k}{{k}^{3}-2}$＞3，即有$\frac{（{k}^{2}+1）（k-2）}{{k}^{3}-2}$＜0，
可得$\root{3}{2}$＜k＜2，即k的取值范圍是（$\root{3}{2}$，2）．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及弦長公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．