Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-2n．
（1）設(shè)b_n=a_n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（2）求證：${a_n}{a_{n+2}}≤{a_{n+1}}^2$
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和S_n與a_n的關(guān)系式，化簡(jiǎn)求出{a_n}的遞推公式，代入$\frac{_{n}}{_{n-1}}$化簡(jiǎn)后，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論成立；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n，代入b_n=a_n+2求出a_n，代入${a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n+1}}^{2}$化簡(jiǎn)后可證明結(jié)論成立；
（3）由（2）求出na_n，根據(jù)分組求和法、錯(cuò)位相減法，等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2得，a₁=2…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-2n，且S_n-1=2a_n-1-2（n-1），
所以S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2，
化簡(jiǎn)得a_n=2a_n-1+2…（3分）
因?yàn)閎_n=a_n+2，所以$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}$=$\frac{{2a}_{n-1}+2+2}{{a}_{n-1}+2}$=2，
由a₁=2得，b₁=a₁+2=4，
所以數(shù)列{b_n}是以2為公比、4為首項(xiàng)的等比數(shù)列，…（4分）
（2）由（1）得b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以a_n=2ⁿ⁺¹-2…（6分）
因?yàn)?{a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n+1}}^{2}$=（2ⁿ⁺¹-2）（2ⁿ⁺³-2）-（2ⁿ⁺²-2）²
=（2²ⁿ⁺⁴-2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺⁴+4）-（2²ⁿ⁺⁴-4•2ⁿ⁺²+4）
=-2ⁿ⁺²＜0---------------------------------（8分）
所以${a}_{n}{a}_{n+2}≤{{a}_{n+1}}^{2}$------------------------（9分）
解：（3）由（1）得，a_n=2ⁿ⁺¹-2，所以na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，
則T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+…+n）
=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-n（n+1），-----（10分）
設(shè)S=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，①
2S=1•2³+2•2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，②
由①-②得：-S=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）2ⁿ⁺²-4，
所以S=（n+1）2ⁿ⁺²+4------------------------（12分）
所以T_n=（n+1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）--------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，S_n與a_n的關(guān)系式，以及分組求和法、錯(cuò)位相減法，考查作差法證明不等式成立，屬于中檔題．