Question

5．對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，那么y=f（x）叫做閉函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x²是否為閉函數(shù)，并說明理由；
（2）是否存在實數(shù)a，b使函數(shù)y=-x³+1是閉函數(shù)；
（3）若y=k+$\sqrt{x+2}$為閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在定義域R上不單調(diào)，即可得出結(jié)論．
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，b使函數(shù)y=-x³+1是閉函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程組是否有解；
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義，進行驗證即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=x²在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）=x²在定義域R上不滿足條件①，
∴f（x）=x²不是閉函數(shù)．
（2）假設(shè)存在a，b使函數(shù)y=-x³+1是閉函數(shù)，
∵y=-x³+1是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\\{a＜b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}^{3}+1=b}\\{-^{3}+1=a}\\{a＜b}\end{array}\right.$，解得a=0，b=1．
∴存在實數(shù)a，b使函數(shù)y=-x³+1是閉函數(shù)；
（3）y=k+$\sqrt{x+2}$的定義域為[-2，+∞）．
若y=k+$\sqrt{x+2}$為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
∵y=k+$\sqrt{x+2}$在定義域上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\\{-2≤a＜b}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x在區(qū)間[-2，+∞）上有兩不相等的實根．
∴k+$\sqrt{x+2}$=x在[-2，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根．
令$\sqrt{x+2}$=t，則x=t²-2，
∴t²-2-t-k=0有兩個不相等的非負根，
令g（t）=t²-t-k-2=（t-$\frac{1}{2}$）²-k-$\frac{9}{4}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{-k-\frac{9}{4}＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-k-2≥0}\\{-k-\frac{9}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2．

點評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，考查學(xué)生的理解和應(yīng)用能力，綜合性較強，難度較大．