Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（2）求證：當x∈（0，e]時，e2x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=f（x）-x²=ax-lnx，x∈（0，e]⇒g′（x）=

ax-1

x

（0＜x≤e），依題意，通過對a≤0、0＜

1

a

＜e、及

1

a

≥e的討論，即可作出正確判斷；
（2））令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）_min=3，令φ（x）=

lnx

x

+

5

2

，證明F（x）_min＞φ（x）_max即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+ax-lnx，
∴g（x）=f（x）-x²=ax-lnx，x∈（0，e]．
∴g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（0＜x≤e），
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
②當0＜

1

a

＜e時，g（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（

1

a

）=1+lna=3，解得a=e²，滿足條件；
③當

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時，g（x）有最小值3．
（2）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F(xiàn)（x）_min=3，
令φ（x）=

lnx

x

+

5

2

，φ′（x）=

1-lnx

x2

，
當0＜x≤e時，φ′（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
∴φ（x）_max=φ（e）=

1

e

+

5

2

＜

1

2

+

5

2

=3，
∴e²x-lnx＞

lnx

x

+

5

2

．
∴當x∈（0，e]時，e²x-

5

2

＞lnx+

lnx

x

．

點評：不停考查不等式的證明，考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，著重考查分類討論數(shù)學與化歸思想的綜合應用，屬于難題．