Question

某漁業(yè)公司今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘魚(yú)船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該船每年捕撈總收入50萬(wàn)元．
（1）問(wèn)捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？
（2）問(wèn)捕撈幾年后年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中某漁業(yè)公司今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一艘魚(yú)船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該船每年捕撈總收入50萬(wàn)，根據(jù)總盈利=總收入-總投入，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得到總盈利y關(guān)于年數(shù)n的函數(shù)表達(dá)式．進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）中總盈利y關(guān)于年數(shù)n的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)年平均利潤(rùn)為

y

n

，結(jié)合基本不等式，即可得到年平均利潤(rùn)最大值，及對(duì)應(yīng)的時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)船捕撈n年后的總盈利為y萬(wàn)元，則
y=50n-98-[12×n+

n(n-1)

2

×4]=-2（n-10）²+102．（5分）
所以，當(dāng)捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬(wàn)元．（6分）
（2）年平均利潤(rùn)為

y

n

=-2（n+

49

n

）+40≤-28+40=12．（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=

49

n

，即n=7時(shí)，上式取等號(hào)．（11分）
所以，當(dāng)捕撈7年后年平均利潤(rùn)最大，最大是12萬(wàn)元．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式等是解答函數(shù)最值類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．