Question

若直線mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圓x²+y²+2x-4y-4=0截得的弦長為6，則

2

m

+

1

n

的最小值是（　　）

• A、

  2

  +

  3

  2

• B、2

  2

  +3
• C、4
• D、8

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：由已知條件推導出直線mx-ny+2=0過圓心（-1，2），從而

m

2

+n=1，由此利用基本不等式能求出

2

m

+

1

n

的最小值．

解答： 解：∵直線mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圓x²+y²+2x-4y-4=0截得的弦長為6，
圓x²+y²+2x-4y-4=0的圓心（-1，2），半徑r=

1

2

4+16+16

=3，
∴直線mx-ny+2=0過圓心（-1，2），
∴m+2n=2，即

m

2

+n=1，
∴

2

m

+

1

n

=（

2

m

+

1

n

）（

m

2

+n）
=1+

m

2n

+

2n

m

+1≥2+2

m 2n • 2n m

=2．
當且僅當

m

2n

=

2n

m

時取等號，
∴

2

m

+

1

n

的最小值是4．
故選：C．

點評：本題考查兩數和的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意直線與圓的位置關系、均值定理的合理運用．