Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）證明：-3≤f（x）≤3；
（2）若不等式f（x）≥（m-2）²-2|m-2|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x＜5 3，x≥5

，求出函數(shù)的值域，可得要證的不等式成立．
（2）由題意可得 3≥（m-2）²-2|m-2|，即 2|m-2|≥m²-4m+1，由

m＞2 2m-4=m2-4m+1

求得m=5；由

m＜2 4-2m=m2-4m+1

求得m=-1，從而求得要求的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：∵函數(shù)f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x＜5 3，x≥5

，
故當(dāng)x＜2時，f（x）=-3；當(dāng)2≤x＜5時，f（x）=2x-7∈[-3，3）；當(dāng)x≥5時，f（x）=3，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-3，3]，故有：-3≤f（x）≤3．
（2）∵不等式f（x）≥（m-2）²-2|m-2|有解，f（x）的最大值為3，∴3≥（m-2）²-2|m-2|，
即 2|m-2|≥m²-4m+1，故函數(shù)y=2|m-2|的圖象在函數(shù)y=m²-4m+1的上方．
由

m＞2 2m-4=m2-4m+1

 求得m=5；由

m＜2 4-2m=m2-4m+1

 求得m=-1．
故要求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，5）．

點(diǎn)評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．