Question

18．已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-b|的最小值為4．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）求$\frac{1}{4}{a^2}+\frac{1}{9}{b^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式，結(jié)合條件求a+b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求$\frac{1}{4}{a^2}+\frac{1}{9}{b^2}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=a+b，
當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí)，等號(hào)成立，所以f（x）的最小值為a+b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得$（\frac{1}{4}{a^2}+\frac{1}{9}{b^2}）（4+9）≥{（\frac{a}{2}×2+\frac{3}×3）^2}=16$．
即$（\frac{1}{4}{a^2}+\frac{1}{9}{b^2}）≥\frac{16}{13}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{\frac{1}{2}a}}{2}=\frac{{\frac{1}{3}b}}{3}$，即$a=\frac{16}{13}，b=\frac{36}{13}$時(shí)，等號(hào)成立．
所以，$\frac{1}{4}{a^2}+\frac{1}{9}{b^2}$的最小值為$\frac{16}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查柯西不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．