Question

在△ABC中，余弦定理可敘述為a²＝b²＋c²－2bccosA．其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC，平面PBC與平面PCA，平面PCA與平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為 　　S2＝S12＋S22＋S32－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ． 　　上式可敘述為四面體的一個面的面積的平方，等于其他各面面積平方的和，減去每兩個面面積與這兩個面夾角余弦乘積的兩倍． 　　關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理來證明三角形余弦定理的方法，給出較簡捷的方法． 　　先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法： 　　在△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對邊，則有 　　a＝bcosC＋ccosB　�、� 　　b＝ccosA＋acosC　�、� 　　c＝acosB＋bcosA　�、� 　　①×a－②×b－③×c可得 　　a2－b2－c2＝－2bccosA， 　　∴a2＝b2＋c2－2bccosA． 　　下面給出三維余弦定理的證明，如上圖，記號表示面積為S1和S2的兩個面所成的二面角大小，由三維射影定理可知： 　　S＝S1cos＋S2cos＋S3cos　�、� 　　S1＝S2cos＋S3cos＋Scos　�、� 　　S2＝S3cos＋Scos＋S1cos　　③ 　　S3＝Scos＋S1cos＋S2cos　�、� 　　①×S－②×S1－③×S2－④×S3可得 　　S2－S12－S22－S32 　�。剑�2S1S2cos－2S2S3cos－2S3S1cos 　�。剑�2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S3S1cosγ， 　　移項(xiàng)得欲證三維余弦定理．